Координатная прямая
Некоторые задачи на вероятность удобно решать не перебором исходов, а с помощью координатной прямой.
Главная идея
Представим возможные значения случайной величины на прямой. Тогда вероятность может соответствовать длине нужного отрезка относительно всей длины.
Вероятность события — это длина соответствующего отрезка на прямой.
Когда можно просто вычесть?
Вероятность того, что чайник прослужит больше года, равна 0,96, а вероятность того, что он прослужит больше двух лет, — 0,85.
Какова вероятность того, что чайник прослужит от года до двух лет?
Если один луч целиком содержится в другом — можно вычесть вероятность.
Решение
Событие «» является частью события «». Поэтому искомую вероятность можно найти вычитанием:
Ответ: 0,11
Когда вычитать напрямую нельзя?
Вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, равна 0,85, а вероятность того, что он прослужит больше года, — 0,95.
Какова вероятность того, что чайник прослужит от года до двух лет?
Почему нельзя просто вычесть?
Событие «чайник прослужит меньше двух лет» () и событие «чайник прослужит больше одного года» () не содержат друг друга. Они пересекаются, но ни одно не является частью другого.
Если просто вычесть , мы не будем знать, вероятность какого именно участка получили.
Решаем через противоположное событие
Найдём событие, противоположное событию «чайник прослужит больше одного года»: чайник прослужит год или меньше ().
Теперь из события «» убираем участок «».
Ответ:
0,8
Вывод
Перед тем как вычислять вероятности, обязательно изобрази события на координатной прямой и проверь, содержится ли один промежуток в другом.
Алгоритм решения таких задач
- Изобрази события на координатной прямой.
- Проверь, содержится ли один промежуток в другом.
- Если содержится — вычти вероятность.
- Если не содержится — используй противоположное событие.
Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ в разных формулировках:
- о сроке службы техники (чайника, батарейки, автомобиля);
- о времени ожидания (автобуса, поезда, приёма у врача);
- о массе изделия (например, буханки хлеба);
- о росте, массе, оценках;
- о случайной величине в реальных ситуациях.