Наталья ВитальевнаПреподаватель

Векторы

Профильный уровень

Три группы прототипов: длина вектора, скалярное произведение и косинус угла — по координатам и по рисунку. Числа в каждой задаче свои.

Пройдено 0 из 77 шагов

О заданииТеорияОпорные задачиТренажёрГенераторДля репетиторов

О задании

Задание №2 проверяет действия с векторами на координатной плоскости: координаты по точкам и по рисунку, длину, скалярное произведение и косинус угла между векторами.

Что в ответе

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь: 1717, 7,57{,}5, −0,6-0{,}6. Запятая и точка в ответе равноправны.

Типы задач

Длина вектора

Координаты вектора или его суммы с коэффициентами, потом длина по формуле

  • A1Длина вектора по координатам∣ b⃗a⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}\,\right|
  • A2Длина суммы или разности∣ b⃗a⃗+b⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}+\vec{b}\,\right|
  • A3Длина с целыми коэффициентами∣ b⃗8a⃗+b⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}8\vec{a}+\vec{b}\,\right|
  • A4Длина с десятичными коэффициентами∣ b⃗1,1a⃗−0,6b⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}1{,}1\vec{a}-0{,}6\vec{b}\,\right|
  • A5Три вектора по координатам∣ b⃗a⃗+b⃗+c⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\,\right|
  • A6Длина по рисунку: два вектораПример рисунка к прототипу A6xy011ab
  • A7Длина по рисунку: три вектораПример рисунка к прототипу A7xy011abc
  • A8По рисунку, десятичные коэффициентыПример рисунка к прототипу A8xy011abc

Скалярное произведение

Через длины и угол или через координаты — по условию и по рисунку

  • B1Через длины и угол 60°∣ b⃗a⃗ ∣⋅∣ b⃗b⃗ ∣⋅cos⁡60∘\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}\,\right|\cdot\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{b}\,\right|\cdot\cos 60^\circ
  • B2Длины с корнями, 30° и 45°23⋅7⋅cos⁡30∘2\sqrt{3}\cdot 7\cdot\cos 30^\circ
  • B3Скалярное произведение по координатамa⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}
  • B4Скалярное произведение суммы(a⃗+b⃗)⋅c⃗(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}
  • B5По рисунку на сеткеПример рисунка к прототипу B5xy011ab
  • B6Без сетки, из начала координатПример рисунка к прототипу B6xy02627ab
  • B7Без сетки, не из начала координатПример рисунка к прототипу B7xy01791239ab
  • B8По рисунку: три вектораПример рисунка к прототипу B8xy011abc
  • B9По рисунку: 2a⃗2\vec{a} и b⃗\vec{b}Пример рисунка к прототипу B9xy011ab

Косинус угла

Скалярное произведение, длины и деление

  • C1Косинус по координатамcos⁡α\cos\alpha
  • C2Косинус по рисункуПример рисунка к прототипу C2xy011ab

Типичные ошибки

  • Конец и начало перепутаны

    Координаты вектора — это конец минус начало. Если вычесть наоборот, обе координаты поменяют знак: вместо (4; −3)(4;\ -3) получится (−4; 3)(-4;\ 3). Длина при этом не изменится, а скалярное произведение и косинус поменяют знак.

  • Потерян знак

    По рисунку считают катеты в клетках и забывают про направление. Конец левее начала — координата xx отрицательная, конец ниже — отрицательная yy. Проверяйте знак у каждой координаты отдельно.

  • Длина суммы — не сумма длин

    ∣ b⃗a⃗+b⃗ ∣≠∣ b⃗a⃗ ∣+∣ b⃗b⃗ ∣\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a} + \vec{b}\,\right| \ne \left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}\,\right| + \left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{b}\,\right|. Сначала находим координаты вектора a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}, и только потом его длину по формуле x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}.

  • Для косинуса не посчитаны длины

    Косинус — это a⃗⋅b⃗∣ b⃗a⃗ ∣⋅∣ b⃗b⃗ ∣\tfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{a}\,\right|\cdot\left|\,\vphantom{\vec{b}}\vec{b}\,\right|}, а не само скалярное произведение. Три шага: произведение, длины, деление — и ответ всегда между −1-1 и 11.