Наталья ВитальевнаПреподаватель

Задание №4. Вероятность: простая

Базовый уровень

Одно задание — 7 методов. Ученик смотрит на условие, узнаёт структуру и берёт подходящий метод.

О заданииТеорияКлючевые методы решенияОпорные задачиТренажёрГенераторДля репетиторов

Теория

Виды событий

Виды событий

  • Невозможное событие

    Невозможным называется событие, которое не может произойти при данных условиях.

    P(A)=0P(A) = 0

    Пример: в сказке «Двенадцать месяцев» мачеха отправляет девушку в январе за подснежниками. В привычных зимних условиях это невозможно.

    Девушка с корзиной подснежников в зимнем лесу
    «Зима не кончится никогда…»

  • Случайное событие

    Случайным называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может и не произойти.

    0<P(A)<10 < P(A) < 1

    Пример: при броске игральной кости выпадает число 6. Мы не можем заранее сказать, произойдёт это или нет, но такое событие возможно.

    Две игральные кости

  • Достоверное событие

    Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт при данных условиях.

    P(A)=1P(A) = 1

    Пример: при броске обычной игральной кости выпадет число от 1 до 6.

    Это событие произойдёт всегда, так как все возможные исходы удовлетворяют условию.

Важно понимать

Тип события зависит от условий, в которых мы его рассматриваем. Изменение условий может превратить невозможное событие в случайное.

А что, если изменить условия?

В 2002 году в Белграде (Сербия) из-за аномально тёплой зимы в январе действительно зацвели подснежники. То, что кажется невозможным в одной ситуации, в другой может стать реальным.

Подснежники, пробившиеся сквозь снег
Реальный мир сложнее школьной модели.

Запомни

Три типа события и их вероятности:

  1. НевозможноеP(A)=0P(A) = 0
  2. Случайное0<P(A)<10 < P(A) < 1
  3. ДостоверноеP(A)=1P(A) = 1

Проверь себя

Выбери, к какому типу относится событие. Нажми на подходящий вариант:

  1. При броске кости выпадает число 8.

  2. При броске кости выпадет число 4.

  3. При броске кости выпадет число от 1 до 6.

  4. Завтра взойдёт Солнце.

  5. При подбрасывании монеты выпадет орёл.

  6. При броске кости выпадет число 2 или 5.

События могут быть связаны между собой

В задачах ЕГЭ важно не только понимать, произойдёт событие или нет. Иногда нужно определить, могут ли два события произойти одновременно и влияет ли одно событие на другое.

  • Независимые события

    События AA и BB называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.

    Пример: мы дважды бросаем монету. Если в первый раз выпал орёл, второй бросок от этого никак не зависит: во второй раз может выпасть и орёл, и решка. Результат первого броска не влияет на второй — в этом и есть независимость.

    Две монеты

    Важно: независимые события могут произойти одновременно.

  • Совместные события

    События AA и BB называются совместными, если они могут произойти одновременно.

    Не путайте с независимыми событиями: там речь о нескольких опытах — бросили монету, потом ещё раз. Совместность — про один опыт: могут ли два исхода случиться в нём одновременно. При одном нажатии кнопки кофейный автомат не приготовит сразу и капучино, и латте — это несовместные события.

    Пример: вы пришли в торговый центр, а кофе в одном автомате закончился. Что вы сделаете?

    Кофейный автомат и стакан кофе

    Ответ очевиден — пойдёте к другому кофейному автомату. Именно такие ситуации помогают понять идею совместного наступления событий.

Как изображать события

Любое случайное событие удобно представить картинкой: тогда сразу видно, как события связаны между собой — пересекаются ли они, лежит ли одно внутри другого или не имеют общих исходов. Способов два: диаграмма Эйлера и числовая прямая. На числовой прямой события изображают отрезками и лучами, а вся числовая прямая — это достоверное событие.

  • Диаграмма Эйлера

    Показывает, как события связаны между собой.

  • Числовая прямая

    Показывает, какие значения случайной величины входят в событие.

Математика — это способ видеть простое в сложном.Л. Эйлер

Иллюстрация готовится

Портрета пока нет.

Да-да, это тот самый Эйлер.

Привет! Я Леонард Эйлер. Родился в 1707 году в Базеле — это город в Швейцарии, почти на границе с Францией и Германией. Сейчас меня, наверное, давно бы звали просто Лёня. А ещё наверняка придумали бы ник — типа Euler_1707.

Математикой я начал заниматься всерьёз ещё в 18 лет. И, кстати, кое-что у меня с памятью было совсем неплохо…

Но ладно, хватит хвастаться памятью. 😀 Давайте лучше разберёмся, как с помощью диаграмм можно увидеть, что происходит с событиями.

СобытиеДиаграмма ЭйлераНа числовой прямой

Достоверное событие

Событие, которое обязательно произойдёт при данных условиях.

P(A)=1P(A) = 1

Ω
Диаграмма Эйлера: всё пространство исходов
x
На числовой прямой: вся числовая прямая

Событие AA и противоположное Aˉ\bar A

События, которые не происходят одновременно и в сумме дают всё пространство исходов.

A∪Aˉ=ΩA \cup \bar A = \Omega

AA
Диаграмма Эйлера: круг AA внутри прямоугольника, остальное — Aˉ\bar A
AAx
На числовой прямой: два соседних луча, разделённых одной точкой

Несовместные события AA и BB

События не могут произойти одновременно.

A∩B=∅A \cap B = \varnothing

AB
Диаграмма Эйлера: два непересекающихся круга
ABx
На числовой прямой: два непересекающихся отрезка

Пересечение A∩BA \cap B

Событие, которое происходит, когда одновременно происходят AA и BB.

A∩BA \cap B

AB
Диаграмма Эйлера: два пересекающихся круга, общая часть закрашена
ABx
На числовой прямой: два налегающих отрезка, общая часть закрашена

Объединение A∪BA \cup B

Событие, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий AA или BB.

A∪BA \cup B

AB
Диаграмма Эйлера: два пересекающихся круга, закрашено всё
ABx
На числовой прямой: два налегающих отрезка, закрашено всё вместе

Разберём на примере

Бросают игральную кость. Событие AA — выпало чётное число, событие BB — выпало больше трёх.

AB254613
x123456

A={2; 4; 6}A = \{2;\ 4;\ 6\}B={4; 5; 6}B = \{4;\ 5;\ 6\}

A∩B={4; 6}A \cap B = \{4;\ 6\}P(A∩B)=26=13P(A \cap B) = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}

A∪B={2; 4; 5; 6}A \cup B = \{2;\ 4;\ 5;\ 6\}P(A∪B)=46=23P(A \cup B) = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}

По размеру фигуры судить о величине вероятности нельзя. Более длинный отрезок не означает более вероятное событие. Но если одно событие целиком содержится в другом, то его вероятность не больше.

Если AA целиком лежит внутри BB, то P(A)≤P(B)P(A) \le P(B)

Классическая вероятность

Теперь разберём самый простой и важный способ вычислять вероятность — классическое определение вероятности.

  • Определение

    Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность события AA равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

    P(A)=mnP(A) = \tfrac{m}{n}

    • mm — число благоприятных исходов

    • nn — общее число равновозможных исходов

    Благоприятные исходы входят в множество всех возможных исходов, поэтому m≤nm \le n.

  • Почему P(A)≤1P(A) \le 1?

    Благоприятных исходов не может быть больше, чем всех возможных исходов.

    m≤n⇒mn≤1m \le n \quad \Rightarrow \quad \tfrac{m}{n} \le 1

    Значит, вероятность любого события не может быть больше 1.

    Вероятность может быть равна 1.Это означает, что событие достоверно: благоприятными являются все возможные исходы.

  • Пример: коробка с конфетами

    В коробке 8 конфет. Из них 2 покрыты белым шоколадом. Какова вероятность достать конфету, покрытую белым шоколадом?

    Коробка с восемью шоколадными конфетами, две из них покрыты белым шоколадом

    m=2m = 2

    n=8n = 8

    P(A)=28=14P(A) = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}

    А может ли быть 12 конфет с белым шоколадом из 8?

    m=12,n=8m = 12, \quad n = 8

    Не может!

    Благоприятные исходы — это часть всех возможных исходов. Поэтому их не может быть больше.

  • Равновозможные исходы

    Классическое определение работает, когда элементарные исходы равновозможны.

    Например, при броске обычной игральной кости каждый из результатов 1, 2, 3, 4, 5, 6 считается равновозможным.

    Две игральные кости
    6 равновозможных исходов

    Если исходы не равновозможны, нужно использовать другие методы.

  • Проверь понимание

    1 / 3

    В коробке 8 шаров: 3 красных и 5 синих. Наугад достают один шар. Чему равна вероятность достать красный?

  • Как узнать такую задачу на ЕГЭ?

    Если в условии можно пересчитать все возможные исходы и выделить среди них благоприятные, часто достаточно использовать классическое определение вероятности.

    1. Найди все возможные исходы.
    2. Найди благоприятные исходы.
    3. Раздели число благоприятных исходов на общее число исходов.

    Проверь, действительно ли все исходы равновозможны. Если нет — используй другие методы. (Например, геометрическую вероятность.)

Противоположное событие

Материал готовится

Текст раздела ещё не написан.