Решено верно: 0 из 56

ЕГЭ, профильный уровень. Задание 3, блок ФИПИ

Стереометрия

Дорогой друг! Вот, хочется порадовать тебя красивой, удобной, а главное — продуктивной домашкой. Для тебя не секрет, что все задания формулируются из открытого банка ФИПИ, поэтому здесь ничего лишнего. Решая задачки, вводи ответы — система сразу проверит их. Задачи, которые не получились, сохраняй, присылай мне скриншоты, и мы их обсудим. Желаю удачи! Обнимаю крепко, Н.В. ♥

56 задач, по одной из каждого прототипа открытого банка. Введи ответ и нажми Enter или «Проверить»: верный ответ станет зелёным, неверный — красным, и его можно исправить. В начале каждого раздела — шпаргалка «Что нужно помнить». Когда раздел закончен, под ним появится итог. В конце нажми «Завершить работу» — появится отчёт: скопируй его и пришли Наталии Виталиевне. А для ошибок можно будет сгенерировать задачи на отработку.

IПараллелепипед и куб0 / 14

Что нужно помнить
a b c d
Диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b, c:
d2 = a2 + b2 + c2
У куба:
d = a3,  V = a3
A B C D A1 B1 C1 D1
Сечение через ребро и противоположное ему ребро — прямоугольник: одна сторона — ребро, другая — диагональ грани. Например, для сечения ABC1D1:
S = AB · BC1,   BC1 = BC2 + CC12
Угол между скрещивающимися прямыми: перенеси одну из них параллельно так, чтобы прямые пересеклись, и считай угол в получившемся треугольнике. В кубе: две диагонали соседних граней — 60°, диагональ грани и ребро — 45° или 90°.
A B C D A1 B1 C1 D1
Куски параллелепипеда a × b × c: через два противоположных ребра — половина:
V = abc2
пирамида с основанием‑гранью:
V = 13 abc
треугольная пирамида на трёх рёбрах из одной вершины:
V = 16 abc
Площадь поверхности «ступенчатого» тела: сложи площади всех прямоугольников — у ступеньки есть и верх, и торец.
A B C D A1 B1 C1 D1
1задачник, №1

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 2, C1D1 = 6, B1C1 = 3. Найдите длину диагонали AC1.

2задачник, №9

Диагональ куба равна 12. Найдите его объём.

A B C D A1 B1 C1 D1
3задачник, №13

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 7, AD = 3, AA1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.

5 3 2 3 1 4
4задачник, №19

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

A B C D A1 B1 C1 D1
5задачник, №29

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CD1 и BC1. Ответ дайте в градусах.

A B C D A1 B1 C1 D1
6задачник, №31

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и CA1. Ответ дайте в градусах.

A B C D A1 B1 C1 D1
7задачник, №35

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 6, AD = 8, AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.

6 4 2 2 2 3
8задачник, №41

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

A B C D A1 B1 C1 D1
9задачник, №42

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 5, AA1 = 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.

A B C D A1 B1 C1 D1
10задачник, №46

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D1, A1, B, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 3, AD = 4, AA1 = 5.

11задачник, №48

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 1,5. Найдите объём куба.

A B C D A1 B1 C1 D1
12задачник, №54

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB = 4, BC = 7, BB1 = 3.

A B C D A1 B1 C1 D1
13задачник, №58

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1.

A B C D A1 B1 C1 D1
14задачник, №62

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 9, BC = 7, AA1 = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1.

IIПризма0 / 10

Что нужно помнить
h S
Объём призмы:
V = Sосн· h
Прямоугольный треугольник в основании:
S = ab2
Плоскость через среднюю линию основания параллельно боковому ребру отсекает призму, подобную по основанию с коэффициентом 12: боковые поверхности относятся как 1:2, объёмы — как 1:4.
Пирамида с основанием‑гранью призмы и вершиной на другой грани — треть объёма призмы:
V = 13 Sосн· h
Отрезали от призмы одну вершину — осталось 23 объёма.
В правильной шестиугольной призме с площадью основания S: треугольник из трёх соседних вершин — S6, прямоугольник ACDF — 2S3.
Боковые рёбра призмы параллельны, поэтому угол между боковым ребром и диагональю грани считается внутри этой грани; в правильной треугольной призме со всеми рёбрами 1 он равен 45°.
15задачник, №66

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.

A B C A1 B1 C1
16задачник, №74

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и BC1. Ответ дайте в градусах.

17задачник, №78

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 75. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

18задачник, №86

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

A B C A1 B1 C1
19задачник, №94

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

A B C A1 B1 C1
20задачник, №102

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A1, B1, C1.

A A1 B B1 C C1 D D1 E E1 F F1
21задачник, №110

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 5, найдите угол между прямыми FA и D1E1. Ответ дайте в градусах.

A A1 B B1 C C1 D D1 E E1 F F1
22задачник, №114

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, F, A1, B1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 15.

A A1 B B1 C C1 D D1 E E1 F F1
23задачник, №120

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки F, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

A A1 B B1 C C1 D D1 E E1 F F1
24задачник, №122

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 9.

IIIПирамида0 / 8

Что нужно помнить
A B C D S O h
В правильной пирамиде вершина S проецируется в центр основания O. Треугольник SOA прямоугольный:
SA2 = SO2 + OA2
Расстояние от центра до вершины основания: квадрат со стороной a —
OA = a22,  d = a2
правильный треугольник —
OA = a3
правильный шестиугольник —
OA = a
Объём пирамиды:
V = 13 Sосн· h
Сечение через середины боковых рёбер подобно основанию с коэффициентом 12: его площадь — 14 площади основания.
Пирамида EABC, где E — середина SB: высота вдвое меньше и основание вдвое меньше (треугольник ABC — половина квадрата):
VEABC = 14 VSABCD
Плоскость через вершину и среднюю линию основания отсекает пирамиду с основанием в 4 раза меньше — объём в 4 раза меньше.
A B C D S O
25задачник, №126

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SD = 41, BD = 18. Найдите длину отрезка SO.

26задачник, №136

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

27задачник, №138

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

28задачник, №142

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

A B C D S E
29задачник, №150

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

30задачник, №154

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

31задачник, №156

Объём треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю линию её основания проведена плоскость. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

32задачник, №160

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.

IVКонус0 / 6

Что нужно помнить
h r l
Образующая, высота и радиус конуса — гипотенуза и катеты:
l2 = h2 + r2
Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 2r и высотой h:
S = r· h
Площадь основания π r2 сразу даёт r2.
Сечение, параллельное основанию, подобно ему. Если высоту разделили на отрезки a (от вершины) и b:
Sсеч = Sосн·(aa+b)2
объёмы относятся как кубы.
Объём конуса:
V = 13 π r2 h
радиус увеличили в k раз — объём вырос в k2 раз; высоту уменьшили в k раз — объём уменьшился в k раз.
Полная поверхность отсечённого конуса меньше в k2 раз, где k — отношение высот.
33задачник, №164

Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 70. Найдите длину образующей конуса.

34задачник, №176

Диаметр основания конуса равен 140, а длина образующей — 74. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

35задачник, №188

Площадь основания конуса равна 48. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

36задачник, №192

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту оставить прежней?

37задачник, №200

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 14 высоты. Объём жидкости равен 1 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

38задачник, №204

Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3 : 2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

VЦилиндр0 / 6

Что нужно помнить
h r
Боковая поверхность и объём цилиндра:
Sбок = 2π r h = π d h,   V = π r2 h
Погружённая деталь вытесняет объём, равный объёму подъёма жидкости:
Vдет = Sдна·Δ h = Vводыh1·Δ h
Если уровень поднялся в k раз:
Vдет = (k−1) Vводы
При переливании в сосуд, у которого диаметр в k раз больше, уровень падает в k2 раз (и наоборот).
Объём цилиндра пропорционален высоте и квадрату радиуса:
V2V1 = r22r12·h2h1
39задачник, №208

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20π, а высота равна 4. Найдите диаметр основания.

40задачник, №216

В цилиндрический сосуд налили 2800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 13 см. Найдите объём детали. Ответ выразите в см³.

41задачник, №220

В цилиндрический сосуд налили 500 см³ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в см³.

42задачник, №226

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 112 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

43задачник, №234

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

44задачник, №238

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

VIШар0 / 2

Что нужно помнить
R O
Площадь сферы и объём шара:
S = 4π R2,   V = 43 π R3
Площади относятся как квадраты радиусов, объёмы — как кубы. Сумма площадей двух шаров:
R2 = R12 + R22
45задачник, №242

Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

46задачник, №246

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

VIIВписанный и описанный цилиндр0 / 4

Что нужно помнить
Параллелепипед описан около цилиндра: основание — квадрат со стороной 2r:
V = 4r2 h
Цилиндр описан около прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании: диаметр цилиндра — гипотенуза c, высота — боковое ребро:
V = π(c2)2 h
h r l
Конус и цилиндр с общими основанием и высотой:
Vкон = 13 Vцил
При h = r:
l = r2,  Sбок.кон = π r22,  Sбок.цил = 2π r2
Ответы с π подобраны так, что π сокращается — не подставляй 3,14.
47задачник, №254

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

48задачник, №265

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24. Боковые рёбра призмы равны 8π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

49задачник, №266

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

50задачник, №274

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 32. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

VIIIВписанная и описанная сфера0 / 6

Что нужно помнить
Шар вписан в куб: R = a2. Куб (или параллелепипед) описан около сферы: a = 2R,
V = 8R3
R h O
Шар вписан в цилиндр: h = 2R:
Sцил = 6π R2 = 32 Sшара,   Vцил = 2π R3 = 32 Vшара
R R l O
Конус вписан в шар, центр сферы — в центре основания: h = r = R,
l = R2,   Vшара = 4 Vкон
Если ответ просят «делённый на π» — просто не пиши π.
51задачник, №282

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объём этого шара, делённый на π.

52задачник, №286

Куб описан около сферы радиуса 3. Найдите объём куба.

53задачник, №294

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 29. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

54задачник, №298

Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

55задачник, №310

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 232. Найдите образующую конуса.

56задачник, №318

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

Итог работы

Сохранить прогресс

Ответы хранятся в памяти браузера. Чтобы точно не потерять их или перенести на другое устройство — скопируй код и вставь его потом в это же поле.